2025 年 10 月 1 日部分习题解答（线性代数）
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文章作者: Plenilune Liao
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2025-09-22
一些常用不等式等（数学分析）
带有 (*) 号的题目表示难度较大或/且与课程内容联系较弱
P1
设 f 在 (−∞, ∞) 上定义，证明：如果 f(f(x))
存在唯一的不动点，则 f(x)
也存在唯一的不动点。
存在性：设 f(f(x0)) = x0，则
f(f(f(x0))) = f(x0)。则
f(x0) 也为
f(f(x))
的不动点。由唯一性，知 f(x0) = x0。
唯一性：设 f(x1) = x1，则
f(f(x1)) = x1，再由唯一性，知
x1 = x0。
P2
设 f : ℝ → ℝ
是一个函数，定义 f
的全体“周期”组成的集合 P(f) := [T ∈ ℝ ∣ f(x + T) = f(x), ∀x ∈ ℝ]。
证明：要么 P(f)
稠密，要么存在唯一的 α ≥ 0
使得 P(f) = [nα ∣ n ∈ ℤ]。
首先我们证明：P(f)
对加法、减法封闭。
任取 T1, T2 ∈ P(f)，首先，显然
−T2 ∈ P(f)。此外，由于
f(x + (T1 + T2)) = f(x + T1) = f(x)，所以
T1...
2025-09-26
凯撒密码破译器个人实现（计算概论 A 实验班）
今天的课程内容是：
第 5 章：函数的定义 [幻灯片]
第 6 章：List Comprehension [幻灯片]
第 7 章：递归函数 [幻灯片]
为什么讲了这么多我也不清楚。然后作业也挺多，最烧脑的想必是：
为了对字符串文本进行加密，凯撒发明了如下的加密方式：
把一个英文字母替换为它在字母表中后面的第 3 个字母。
如果到达了字母表的末尾 (即：字母 z)，则回转到第一个字母
a。
也即，字母 z 的后继字母是 a。
下面，我们按照这种方式，分别定义 加密 和 解密 两个函数。
加密 / encode
1234567891011121314151617import Data.Char(ord, chr, isLower)-- ord :: Char -> Int // 将字符转换为编码值-- chr :: Int -> Char // 将编码值转换为字符-- isLower :: Char -> Bool // 判断字符是否为小写字母encode :: Int -> Stri...
2025-10-01
2025 年 9 月 29 日部分习题解答（数学分析）
带有 (*) 号的题目表示难度较大或/且与课程内容联系较弱。
P1
求下列极限：
(a)
$$
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sqrt[]{n^{2}+2n}-\sqrt[]{n^{2}+n}\right)
$$
考虑到
$$
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sqrt[]{n^{2}+2n}-\sqrt[]{n^{2}+n}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{\sqrt[]{n^{2}+2n}+\sqrt[]{n^{2}+n}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt[]{1+\frac2n}+\sqrt[]{1+\frac1n}}=\frac12
$$
(b)
$$
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sqrt[4]{n^{4}+2n^{3}}-\sqrt[4]{n^{4}+n^{3}}\right)
$$
类似得，考虑 $ a4-b4=(a-b)(...
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