v1.0.0 版本，也许待完善。

核心思想

所有坐标系描述的是同一个物理运动，只是“观察”和“分解”的视角不同。它们之间可以相互转换。

直角坐标系 (Cartesian Coordinates)

这是最直观、最基础的坐标系。

  • 描述方式：用三个相互垂直的坐标轴 (x, y, z) 来确定位置。
  • 位矢 (Position Vector)： r⃗ = xî + yĵ + zk̂
    • î, ĵ, k̂ 是三个方向恒定不变的单位矢量。
  • 速度 (Velocity)： $$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k} $$
    • 速率 (Speed)： $ v = || = $
  • 加速度 (Acceleration)： $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k} $$
    • 在直角坐标系中，加速度没有天然的“向心”和“切向”分解。如果需要，必须转换到其他坐标系。
  • 向心/切向加速度：不直接定义在此坐标系中。
  • 曲率半径：不直接体现。

特点：单位矢量恒定，求导简单。适合处理运动方向不固定的问题，但不直接反映运动的弯曲特性。

极坐标系 (Polar Coordinates)

适合描述平面上的曲线运动，特别是绕某点的旋转运动（如圆周运动、行星轨道）。

  • 描述方式：用径向距离 r 和极角 θ 来确定位置。
  • 单位矢量：
    • r̂：径向单位矢量，方向从原点指向质点位置。
    • θ̂：横向单位矢量，方向垂直于 r̂，指向 θ 增加的方向。
    • 关键：这两个单位矢量随质点位置变化而变化，即 r̂ = r̂(θ)， θ̂ = θ̂(θ)。
  • 位矢： r⃗ = rr̂
    • 非常简洁，只有径向分量。
  • 速度： $$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\hat{r}}{dt} $$ 根据单位矢量的求导法则：$\dfrac{d\hat{r}}{dt} = \dot{\theta}\hat{\theta}$， $\dfrac{d\hat{\theta}}{dt} = -\dot{\theta}\hat{r}$ v⃗ = ṙr̂ + rθ̇θ̂ = vrr̂ + vθθ̂
    • 径向速度： vr = ṙ
    • 横向速度： vθ = rθ̇
    • 速率： $v = \sqrt[]{\dot{r}^2 + (r\dot{\theta})^2}$
  • 加速度： $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta} = a_r\hat{r} + a_\theta\hat{\theta} $$
    • 径向加速度： $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2$
      • $\ddot{r}$：径向速度变化率。
      • −rθ̇2：向心加速度项，负号表示方向指向原点。
    • 横向加速度： $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$
      • $r\ddot{\theta}$：角加速度引起的切向加速度。
      • 2ṙθ̇：科里奥利加速度项。
  • 向心/切向加速度：隐含在 ar 和 aθ 中，但并非严格对应自然坐标系中的定义。
  • 曲率半径：不直接体现。

特点：能清晰分离径向和横向运动，是分析有心力问题（如天体运动）的基础。

自然坐标系 (Intrinsic Coordinates / Normal-Tangential Coordinates)

这是“贴着”运动轨迹建立的坐标系，最能直观地反映运动的弯曲特性。

  • 描述方式：以质点在轨迹上的位置为基准，定义两个方向。

  • 单位矢量：

    • τ̂：切向单位矢量，方向沿质点所在处轨迹的切线，指向运动方向。
    • n̂：法向单位矢量，方向垂直于 τ̂，并指向轨迹的凹侧（即曲率中心方向）。
    • 关键：这两个单位矢量随质点位置变化而变化。

  • 位矢：不使用具体的函数形式，因为坐标系是“附着”在路径上的。

  • 速度： v⃗ = vτ̂

    • 速度只有切向分量，这是自然坐标系的核心特征。
    • 速率就是速度的大小：v = |v⃗|

  • 加速度： $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(v\hat{\tau})}{dt} = \frac{dv}{dt}\hat{\tau} + v\frac{d\hat{\tau}}{dt} $$ 根据单位矢量求导法则：$\dfrac{d\hat{\tau}}{dt} = \dfrac{v}{\rho}\hat{n}$，其中 ρ 是曲率半径。 $$ \vec{a} = a_\tau\hat{\tau} + a_n\hat{n} = \dfrac{dv}{dt}\hat{\tau} + \dfrac{v^2}{\rho}\hat{n} $$

    • 切向加速度 (Tangential Acceleration)：$a_\tau = \dfrac{dv}{dt}$
      • 反映速率变化的快慢。
    • 法向加速度 (Normal Acceleration) / 向心加速度 (Centripetal Acceleration)：$a_n = \dfrac{v^2}{\rho}$
      • 反映速度方向变化的快慢。
      • 永远指向曲率中心。

  • 曲率半径 (Radius of Curvature)：ρ

    • 定义为轨迹在某一点弯曲程度的度量。对于由方程 y = f(x) 描述的轨迹，其计算公式为： $$ \rho = \dfrac{[1 + (y')^2]^{3/2}}{|y''|} $$
    • 对于圆周运动，曲率半径就是圆的半径 R。

特点：物理意义非常清晰，切向加速度改变速度大小，法向加速度改变速度方向。是分析曲线运动动力学的利器。

总结对比表格

物理量 / 概念 直角坐标系 极坐标系 自然坐标系
位矢 r⃗ xî + yĵ rr̂ 不直接使用
速度 v⃗ vxî + vyĵ ṙr̂ + rθ̇θ̂ vτ̂
速率 v $\sqrt[]{v_x^2 + v_y^2}$ $\sqrt[]{\dot{r}^2 + (r\dot{\theta})^2}$ v
加速度 a⃗ axî + ayĵ $(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}$ $\dfrac{dv}{dt}\hat{\tau} + \dfrac{v^2}{\rho}\hat{n}$
切向加速度 aτ 不直接定义 隐含在 aθ 中 $\dfrac{dv}{dt}$
法向/向心加速度 an 不直接定义 隐含在 ar 中（−rθ̇2 项） $\dfrac{v^2}{\rho}$
曲率半径 ρ 需计算 $\dfrac{(1+y'^2)^{3/2}}{\mid y''\mid}$ 需计算或转换 直接定义和使用
单位矢量 恒定不变 (î, ĵ) 随位置变化 (r̂, θ̂) 随位置变化 (τ̂, n̂)
适用场景 一般运动，抛体运动 圆周运动，有心力场，平面旋转运动 任何已知轨迹的曲线运动

刚体运动学 (Rigid Body Kinematics)

非惯性系运动学 (Non-Inertial Reference Frames)

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