v1.0.0 版本，也许待完善。

核心思想

所有坐标系描述的是同一个物理运动，只是“观察”和“分解”的视角不同。它们之间可以相互转换。

直角坐标系 (Cartesian Coordinates)

这是最直观、最基础的坐标系。

  • 描述方式：用三个相互垂直的坐标轴 (x, y, z) 来确定位置。
  • 位矢 (Position Vector)： r⃗=xi^+yj^+zk^ \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}
    • i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} 是三个方向恒定不变的单位矢量。
  • 速度 (Velocity)： v⃗=dr⃗dt=dxdti^+dydtj^+dzdtk^=vxi^+vyj^+vzk^ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}
    • 速率 (Speed)： v=∣v⃗∣=vx2+vy2+vz2 v = |\vec{v}| = \sqrt[]{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
  • 加速度 (Acceleration)： a⃗=dv⃗dt=d2xdt2i^+d2ydt2j^+d2zdt2k^=axi^+ayj^+azk^ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}
    • 在直角坐标系中，加速度没有天然的“向心”和“切向”分解。如果需要，必须转换到其他坐标系。
  • 向心/切向加速度：不直接定义在此坐标系中。
  • 曲率半径：不直接体现。

特点：单位矢量恒定，求导简单。适合处理运动方向不固定的问题，但不直接反映运动的弯曲特性。

极坐标系 (Polar Coordinates)

适合描述平面上的曲线运动，特别是绕某点的旋转运动（如圆周运动、行星轨道）。

  • 描述方式：用径向距离 rr 和极角 θ\theta 来确定位置。
  • 单位矢量：
    • r^\hat{r} ：径向单位矢量，方向从原点指向质点位置。
    • θ^\hat{\theta} ：横向单位矢量，方向垂直于 r^\hat{r}，指向 θ\theta 增加的方向。
    • 关键：这两个单位矢量随质点位置变化而变化，即 r^=r^(θ)\hat{r} = \hat{r}(\theta)， θ^=θ^(θ)\hat{\theta} = \hat{\theta}(\theta)。
  • 位矢： r⃗=rr^ \vec{r} = r\hat{r}
    • 非常简洁，只有径向分量。
  • 速度： v⃗=dr⃗dt=drdtr^+rdr^dt \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\hat{r}}{dt} 根据单位矢量的求导法则：dr^dt=θ˙θ^\dfrac{d\hat{r}}{dt} = \dot{\theta}\hat{\theta}， dθ^dt=−θ˙r^\dfrac{d\hat{\theta}}{dt} = -\dot{\theta}\hat{r} v⃗=r˙r^+rθ˙θ^=vrr^+vθθ^ \vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta} = v_r\hat{r} + v_\theta\hat{\theta}
    • 径向速度： vr=r˙v_r = \dot{r}
    • 横向速度： vθ=rθ˙v_\theta = r\dot{\theta}
    • 速率： v=r˙2+(rθ˙)2v = \sqrt[]{\dot{r}^2 + (r\dot{\theta})^2}
  • 加速度： a⃗=dv⃗dt=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^=arr^+aθθ^ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta} = a_r\hat{r} + a_\theta\hat{\theta}
    • 径向加速度： ar=r¨−rθ˙2a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2
      • r¨\ddot{r} ：径向速度变化率。
      • −rθ˙2- r\dot{\theta}^2 ：向心加速度项，负号表示方向指向原点。
    • 横向加速度： aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}
      • rθ¨r\ddot{\theta} ：角加速度引起的切向加速度。
      • 2r˙θ˙2\dot{r}\dot{\theta} ：科里奥利加速度项。
  • 向心/切向加速度：隐含在 ara_r 和 aθa_\theta 中，但并非严格对应自然坐标系中的定义。
  • 曲率半径：不直接体现。

特点：能清晰分离径向和横向运动，是分析有心力问题（如天体运动）的基础。

自然坐标系 (Intrinsic Coordinates / Normal-Tangential Coordinates)

这是“贴着”运动轨迹建立的坐标系，最能直观地反映运动的弯曲特性。

  • 描述方式：以质点在轨迹上的位置为基准，定义两个方向。

  • 单位矢量：

    • τ^\hat{\tau} ：切向单位矢量，方向沿质点所在处轨迹的切线，指向运动方向。
    • n^\hat{n} ：法向单位矢量，方向垂直于 τ^\hat{\tau}，并指向轨迹的凹侧（即曲率中心方向）。
    • 关键：这两个单位矢量随质点位置变化而变化。

  • 位矢：不使用具体的函数形式，因为坐标系是“附着”在路径上的。

  • 速度： v⃗=vτ^ \vec{v} = v\hat{\tau}

    • 速度只有切向分量，这是自然坐标系的核心特征。
    • 速率就是速度的大小：v=∣v⃗∣v = |\vec{v}|

  • 加速度： a⃗=dv⃗dt=d(vτ^)dt=dvdtτ^+vdτ^dt \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(v\hat{\tau})}{dt} = \frac{dv}{dt}\hat{\tau} + v\frac{d\hat{\tau}}{dt} 根据单位矢量求导法则：dτ^dt=vρn^\dfrac{d\hat{\tau}}{dt} = \dfrac{v}{\rho}\hat{n}，其中 ρ\rho 是曲率半径。 a⃗=aττ^+ann^=dvdtτ^+v2ρn^ \vec{a} = a_\tau\hat{\tau} + a_n\hat{n} = \dfrac{dv}{dt}\hat{\tau} + \dfrac{v^2}{\rho}\hat{n}

    • 切向加速度 (Tangential Acceleration)：aτ=dvdta_\tau = \dfrac{dv}{dt}
      • 反映速率变化的快慢。
    • 法向加速度 (Normal Acceleration) / 向心加速度 (Centripetal Acceleration)：an=v2ρa_n = \dfrac{v^2}{\rho}
      • 反映速度方向变化的快慢。
      • 永远指向曲率中心。

  • 曲率半径 (Radius of Curvature)：ρ\rho

    • 定义为轨迹在某一点弯曲程度的度量。对于由方程 y=f(x)y=f(x) 描述的轨迹，其计算公式为： ρ=[1+(y′)2]3/2∣y′′∣ \rho = \dfrac{[1 + (y')^2]^{3/2}}{|y''|}
    • 对于圆周运动，曲率半径就是圆的半径 RR。

特点：物理意义非常清晰，切向加速度改变速度大小，法向加速度改变速度方向。是分析曲线运动动力学的利器。

总结对比表格

物理量 / 概念 直角坐标系 极坐标系 自然坐标系
位矢 r⃗\vec{r} xi^+yj^x\hat{i} + y\hat{j} rr^r\hat{r} 不直接使用
速度 v⃗\vec{v} vxi^+vyj^v_x\hat{i} + v_y\hat{j} r˙r^+rθ˙θ^\dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta} vτ^v\hat{\tau}
速率 vv vx2+vy2\sqrt[]{v_x^2 + v_y^2} r˙2+(rθ˙)2\sqrt[]{\dot{r}^2 + (r\dot{\theta})^2} vv
加速度 a⃗\vec{a} axi^+ayj^a_x\hat{i} + a_y\hat{j} (r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta} dvdtτ^+v2ρn^\dfrac{dv}{dt}\hat{\tau} + \dfrac{v^2}{\rho}\hat{n}
切向加速度 aτa_\tau 不直接定义 隐含在 aθa_\theta 中 dvdt\dfrac{dv}{dt}
法向/向心加速度 ana_n 不直接定义 隐含在 ara_r 中（−rθ˙2-r\dot{\theta}^2 项） v2ρ\dfrac{v^2}{\rho}
曲率半径 ρ\rho 需计算 (1+y′2)3/2∣y′′∣\dfrac{(1+y'^2)^{3/2}}{\mid y''\mid} 需计算或转换 直接定义和使用
单位矢量 恒定不变 (i^,j^)(\hat{i}, \hat{j}) 随位置变化 (r^,θ^)(\hat{r}, \hat{\theta}) 随位置变化 (τ^,n^)(\hat{\tau}, \hat{n})
适用场景 一般运动，抛体运动 圆周运动，有心力场，平面旋转运动 任何已知轨迹的曲线运动

刚体运动学 (Rigid Body Kinematics)

非惯性系运动学 (Non-Inertial Reference Frames)

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